(a+b)的n次方展开式

展开式通常说的是二项式定理，二项式定理又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出，用于给出两个数之和的整数次幂，二项式定理可以推广到任意实数次幂。

(a+b)的n次方展开式

二项式定理来展开，展开后是一个n+1项的多项式：

(a+b)n次方＝C(n，0)a(n次方)+C(n，1)a（n-1次方）b（1次方）+…+C（n，r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n，n)b(n次方)(n∈N*)

C(n，0)表示从n个中取0个，这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二次展开式，其中的系数Cnr(r＝0，1，……n)叫做二次项系数。式中的Cnran-rbr，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1＝Cnraa-rbr。

说明：①Tr+1＝cnraa-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项。r＝0，1，2，……n。它和(b+a)n的展开式的第r+1项Cnrbn-rar是有区别的。

②Tr+1仅指(a+b)n这种标准形式而言的，(a-b)n的二项展开式的通项公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr。③系数Cnr叫做展开式第r+1次的二项式系数，它与第r+1项关于某一个(或几个)字母的系数应区别开来。

特别地，在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+Cnrxa+…+xn。

展开式的二项式系数

二项式系数，也称为组合数，是数学中用于表达二项式展开式的系数。

具体来说，二项式系数是表达式(1+x)^n展开后x的系数，其中n是自然数。这些系数表示从n个元素中选择k个元素的方法数，同时也表示选择剩余的n-k个元素的方法数。二项式系数是整数，用于多项式展开中。

二项式定理任意项公式

1、二项式定理：对于任意正整数n，都有(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn。这个式子叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中各项的系数Cnk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二项式系数。

2、二项展开式的通项：二项展开式的第k+1项

Tk+1=Cnkan−kbk(k∈0,1,2,⋯,n)叫做二项展开式的通项。

注：（1）通项是二项展开式的第k+1项，而不是第k项。

（2）字母b的指数和组合数的上标相同，与a与b的指数之和为n。

（3）展开式中第k+1项的二项式系数

Cnk与第k+1项的系数不一定相等，只有在特殊情况下，它们的值才相等。

（4）求常数项、有理项和系数最大的项时，一般要根据通项公式对k进行讨论。

3、二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

Cnm=Cnn?m(n=0,1,2,?,n)。

（2）增减性与最大值

增减性：当k<n+12时，Cnk是逐渐增大的；当k>n+12时，Cnk是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值为Cnn?12，Cnn+12。